小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)比練習(xí)設(shè)計(jì)策略淺談?wù)撐?/p>
小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)比練習(xí)設(shè)計(jì)策略淺談
![小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)比練習(xí)設(shè)計(jì)策略淺談?wù)撐?/></p><p> <strong>內(nèi)容提要：</strong>對(duì)比練習(xí)是在設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)，通過(guò)形式、內(nèi)容、方法等對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生抓聯(lián)系，辨差異，鞏固知識(shí)，豐富學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)，深入反思，培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。而新教材對(duì)比練習(xí)明顯減少。本文試圖對(duì)新教材背景下的對(duì)比練習(xí)的設(shè)計(jì)策略作一探討。</p><p> <strong>關(guān)鍵詞：對(duì)比練習(xí) 設(shè)計(jì)策略</strong></p><p> 對(duì)比練習(xí)是在設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)，通過(guò)形式、內(nèi)容、方法等對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生抓聯(lián)系，辨差異，鞏固知識(shí)，豐富學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)，深入反思，從而發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。對(duì)比練習(xí)在老教材中大量出現(xiàn)，尤其是應(yīng)用題對(duì)比，但隨著新教材解決問(wèn)題編排新特點(diǎn)，對(duì)比練習(xí)明顯減少，甚至難得一見，以至不少教師也逐漸生疏。其實(shí)，教育學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)對(duì)比的學(xué)習(xí)方法和養(yǎng)成主動(dòng)反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣，要比獲得知識(shí)更重要。正同羅杰斯所認(rèn)為的：有意義的學(xué)習(xí)遠(yuǎn)不只是知識(shí)的簡(jiǎn)單增加，而是一個(gè)人存在的每一部分都會(huì)與這種學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)相互貫穿，并導(dǎo)致其態(tài)度、個(gè)性及對(duì)未來(lái)的選擇方向發(fā)生變化。</p><p> <strong>一、對(duì)比練習(xí)的可能與必要</strong></p><p> （1）新課程教材書本配套練習(xí)較少，需要教師自行重組和補(bǔ)充，使設(shè)計(jì)對(duì)比練習(xí)成為可能。</p><p> （2）對(duì)比練習(xí)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，原因有二：</p><p> A、強(qiáng)信息引起知識(shí)干擾</p><p> 某種刺激之所以能夠引起某種反應(yīng)，正是因?yàn)閮和邆淞四軐?duì)這種刺激作出反應(yīng)的能力，如果用結(jié)構(gòu)主義的話來(lái)說(shuō)，那就是兒童具備了相應(yīng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)或心理格式。沒有哪一種認(rèn)識(shí)活動(dòng)是不以原有的思維結(jié)構(gòu)為中介的。沒有一種行為，即便對(duì)于個(gè)人來(lái)說(shuō)是新的，可以構(gòu)成一個(gè)絕對(duì)的開端，他總是嫁接在以前的格式之上。</p><p> 強(qiáng)信息在大腦中留下的深刻印象，在遇到與強(qiáng)信息相似的新信息時(shí)，原有的強(qiáng)信息痕跡便被激活，干擾正常的思維活動(dòng)。如：25×4＝100是一個(gè)強(qiáng)信息，很多學(xué)生在計(jì)算24×5時(shí)受到干擾而產(chǎn)生錯(cuò)誤。</p><p> B、前后攝抑制引起知識(shí)干擾</p><p> 心理學(xué)告訴我們，前面學(xué)習(xí)的知識(shí)影響后面知識(shí)的學(xué)習(xí)，這是前攝抑制；后面學(xué)習(xí)的知識(shí)對(duì)前面學(xué)習(xí)的知識(shí)反過(guò)來(lái)干擾、排斥，這是后攝抑制。教學(xué)中由于前后攝抑制互相干擾，往往直接影響學(xué)習(xí)成效。如：（125×125）×8，許多學(xué)生做成（125×8）×（125×8），這是學(xué)習(xí)乘法結(jié)合律后，接著學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)受到的后攝抑制。再如：（40＋4）×25學(xué)生做成40×25×4，那是前攝抑制造成的后果。</p><p> （3）實(shí)驗(yàn)表明對(duì)比練習(xí)是必要的</p><p> 工程問(wèn)題大家一般都很關(guān)注“1”的由來(lái)與使用“1”解答的好處，同時(shí)變換情景拓展對(duì)工程問(wèn)題的理解與把握，然后一教一練，教學(xué)下來(lái)，學(xué)生對(duì)解這類題目駕輕就熟，效果明顯，對(duì)“生產(chǎn)360個(gè)零件，徒弟獨(dú)做需10小時(shí)，師傅獨(dú)做需15小時(shí)，兩人合做幾小時(shí)完成？”這類習(xí)題的列式正確率幾乎達(dá)100%。</p><p> 教什么練什么，學(xué)生很容易類化，但到底是否深入理解，值得思考。設(shè)計(jì)貌似工程問(wèn)題的.習(xí)題一道，即“生產(chǎn)360個(gè)零件，徒弟每小時(shí)做10個(gè)，師傅每小時(shí)做15個(gè)，兩人合做幾小時(shí)完成？”，對(duì)兩個(gè)六年級(jí)班學(xué)生分別在學(xué)習(xí)工程問(wèn)題前后進(jìn)行測(cè)試。</p><p> 第一班：教學(xué)工程問(wèn)題前，沒有前測(cè)，新授中沒有對(duì)比，教什么練什么，課后馬上用上述題目后測(cè)，結(jié)果：全班41人，列式正確9人，正確率22%。</p><p> 第二班：教學(xué)工程問(wèn)題前測(cè)試，結(jié)果：全班43人，列式正確39人，正確率91%。兩周后教學(xué)工程問(wèn)題，新授中沒有對(duì)比，教什么練什么，課后馬上用前測(cè)時(shí)一模一樣的題目后測(cè)，結(jié)果：全班43人，列式正確17人，正確率40%，錯(cuò)誤的都當(dāng)成工程問(wèn)題了。</p><p> 前測(cè)結(jié)果90%以上同學(xué)正確，合乎常情。說(shuō)明這道題對(duì)未學(xué)工程問(wèn)題的六年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是熟悉的、簡(jiǎn)單的兩步計(jì)算題目。但同一班級(jí)學(xué)生，半個(gè)月內(nèi)前后兩次做同一道題目，正確率下降達(dá)50%。</p><p> 兩個(gè)班的測(cè)試情況都說(shuō)明，不對(duì)比學(xué)生難有清醒，學(xué)習(xí)新知識(shí)新策略后，后繼學(xué)習(xí)的東西容易對(duì)先前學(xué)習(xí)產(chǎn)生干擾，再加上鞏固練習(xí)的形式化甚至格式化，這種后攝抑制的影響，不可小視。因此，后繼學(xué)習(xí)后設(shè)計(jì)與先前學(xué)習(xí)對(duì)比練習(xí)，讓學(xué)生“試誤”， 然后呈現(xiàn)對(duì)比練習(xí)。</p><p> <strong>二、對(duì)比練習(xí)的設(shè)計(jì)策略 （一）根據(jù)知識(shí)本質(zhì)，設(shè)計(jì)內(nèi)容對(duì)比</strong></p><p> 1、突出規(guī)律本質(zhì)，感悟特殊與一般</p><p> 不論是智力還是能力，最基本的特征是概括，概括是掌握規(guī)律的基礎(chǔ)。概括需要把大量個(gè)別事實(shí)通過(guò)分析、綜合、比較，抽象出共同而本質(zhì)的屬性，從而化為現(xiàn)象的一般規(guī)律，但如果提供的事實(shí)少，學(xué)生又不具備自我豐富材料的能力時(shí)，容易以偏概偏，因此，揭示規(guī)律的材料也需對(duì)比與豐富。</p><p> 90÷3 80÷2 15÷5 270÷9</p><p> 900÷3 800÷2 150÷5 270÷9</p><p> 這是三下P15《口算除法》中的一組口算練習(xí)，根據(jù)教師用書意見，學(xué)生完成后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察每組中上下兩題的異同，找出其中的運(yùn)算規(guī)律。</p><p> 筆者認(rèn)為三年級(jí)能夠發(fā)現(xiàn)“除數(shù)不變，被除數(shù)變大（或小），商也跟著變大（或小）”就可以了，但教師一般不愿就此滿足，希望得出“除數(shù)不變，被除數(shù)擴(kuò)大（或縮小）幾倍，商也隨著擴(kuò)大（或縮小）幾倍”。筆者在聽9位教師教學(xué)該內(nèi)容時(shí)，當(dāng)大多數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“除數(shù)不變，被除數(shù)后面有1個(gè)0，商后面也有1個(gè)0，被除數(shù)后面有2個(gè)0，商后面也就有2個(gè)0，也就是說(shuō)被除數(shù)后面有幾個(gè)0，商后面也有幾個(gè)0。”兩位教師對(duì)以上規(guī)律表示肯定；一位教師則主動(dòng)出擊，在學(xué)生未發(fā)現(xiàn)時(shí)就積極引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成此規(guī)律。其實(shí)，這是危險(xiǎn)的，因?yàn)樘厥馇闆r下的正確結(jié)論并不具有普遍意義。如果加入30÷6，300÷6這樣的對(duì)比題，相信這樣可以豐富練習(xí)內(nèi)容，制造認(rèn)知沖突，避免不恰當(dāng)?shù)耐贫鴱V之，使學(xué)生充分體會(huì)到規(guī)律的本質(zhì)。</p><p> 2、突出意義本質(zhì)，感悟可能與必然</p><p> 如四下《小數(shù)的意義和性質(zhì)》單元練習(xí)中有如下連線題。</p><p> 13/100 9/10 47/1000 1/10000</p><p> 0．047 0．13 0．0001 0．9</p><p> 這道題目，學(xué)生正確率很高，只看分子不考慮分母照樣可以連線正確，因此，一些學(xué)生不免為耍小聰明既快又對(duì)而沾沾自喜。事實(shí)上也難怪學(xué)生，造成此問(wèn)題的根源在于教師設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)研究教材不夠深入，小數(shù)的意義更多地應(yīng)該更加關(guān)注分母是10、100、1000等分?jǐn)?shù)中分母與小數(shù)位數(shù)的關(guān)系，因此，練習(xí)中同樣應(yīng)該融入對(duì)比元素，如增加同分子異分母的分?jǐn)?shù)（分母仍為10、100、1000……），甚至突破一一對(duì)應(yīng)，增加多余分?jǐn)?shù)，使學(xué)生非抓住意義本質(zhì)無(wú)法輕易得出正確結(jié)果，使只看分子不考慮分母而連線正確僅僅成為可能，使關(guān)注分母成為必然。</p><p> <strong>（二）根據(jù)信息特點(diǎn)，巧設(shè)方法對(duì)比</strong></p><p> 課程標(biāo)準(zhǔn)解讀中指出：作為一名有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，不能只知道如何計(jì)算，而應(yīng)掌握更廣泛的知識(shí)和技能，如處理數(shù)據(jù)信息。培養(yǎng)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生，教師可以在習(xí)題信息上巧設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在體會(huì)不同解題方法的同時(shí)可以更多地體會(huì)解題思想，盡可能讓學(xué)生多一扇獲取知識(shí)的窗戶，尤其是智慧之窗。</p><p> 巧設(shè)特例，感悟相對(duì)與絕對(duì)</p><p> “四（1）班56人，一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)30位男生共得2730分，29位女生平均91</p><p> 分。這次測(cè)驗(yàn)全班平均多少分？”</p><p> 對(duì)于此題，老教材過(guò)來(lái)的學(xué)生很熟悉數(shù)量關(guān)系，平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)。都說(shuō)熟悉的地方?jīng)]有風(fēng)景，其實(shí)不然，你是否留意很是關(guān)鍵，面對(duì)此題，一位學(xué)生做成了2730÷30=91（分），91=91，得出這次測(cè)驗(yàn)全班平均91分。好一個(gè)91=91，把偶然變成了必然，在絕對(duì)數(shù)量關(guān)系之外，可以有特殊數(shù)據(jù)下的相對(duì)巧妙方法。</p><p> 巧設(shè)題眼，感悟局部與整體</p><p> 整體大于局部。在數(shù)學(xué)上，思維方式比解題結(jié)果更重要，當(dāng)然站在局部和整體不同高度思考問(wèn)題其效果是大不相同的。</p><p> □ □ □</p><p> × □ 6</p><p> 1 2 1 8</p><p> □ □ □</p><p> □ □ □ □</p><p> 學(xué)生從第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位開始思考，6×（ ）積的個(gè)位是8呢？于是背誦口訣，逐個(gè)對(duì)照，從三六十八確定第一個(gè)因數(shù)個(gè)位為3，再考慮第一個(gè)因數(shù)的十位、百位，一一嘗試正確，皆大歡喜，自始至終，沒有發(fā)現(xiàn)用第一個(gè)因數(shù)與6的成積正好是1218，對(duì)逐位、局部的分析樂此不疲。設(shè)計(jì)這個(gè)題眼，就是要引導(dǎo)學(xué)生大處著眼，整體感知，樹立全局意識(shí)。</p><p> <strong>（三）根據(jù)概念本質(zhì)，設(shè)計(jì)對(duì)比形式</strong></p><p> 概念教學(xué)不能靠記憶來(lái)實(shí)現(xiàn)，對(duì)概念的正確理解才是關(guān)鍵。而對(duì)概念真正的理解意味著學(xué)生能夠多角度地理解概念的內(nèi)涵和外延，能自己舉出一定數(shù)量有關(guān)這個(gè)概念的正例或反例。</p><p> 1、正反逆敘，感悟單一與雙向</p><p> 有的概念具有可逆性，有的概念不具有可逆性。教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念形成后，可進(jìn)行逆敘判斷來(lái)加深對(duì)概念的理解。</p><p> 我們05學(xué)年第二學(xué)期六年級(jí)期末考試中就有如下一道“填空題”：</p><p> 在我們學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)概念中，有些正著說(shuō)是對(duì)的，但反著說(shuō)是錯(cuò)的。如：正著說(shuō)“正三角形都是銳角三角形”是對(duì)的，反著說(shuō)“銳角三角形都是正三角形”是錯(cuò)的。你能再舉出一個(gè)這樣的例子嗎？</p><p> 正著說(shuō)，對(duì)的：（ ）。</p><p> 反著說(shuō)，錯(cuò)的：（ ）。</p><p> 作為檢測(cè)題目出現(xiàn)，起到了很好的導(dǎo)向作用，相信教師們?cè)谝院蟮慕虒W(xué)中會(huì)摒棄死記硬背，更加重視概念形成，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。</p><p> 2、變換表述形式，感悟形式與實(shí)質(zhì)</p><p> 概念可以在文字描述、口頭表述、符號(hào)、圖像之間實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換，這種形式上的變化，好比美麗外衣的更替，形式可以千變?nèi)f化，但脫掉美麗的外衣其概念實(shí)質(zhì)應(yīng)該是不變的。而如果能正確實(shí)現(xiàn)不同形式間的轉(zhuǎn)換，其功力實(shí)屬上乘。因此，加強(qiáng)形式間的對(duì)比變換，能夠加深學(xué)生對(duì)概念實(shí)質(zhì)的把握。</p><p> 如教學(xué)人教版三上《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》后，可以讓學(xué)生自創(chuàng)情景說(shuō)說(shuō)1/2的含義；在給定圖形上表示出1/2，而且用盡可能多的方法表示；自選材料表示1/2等等，真正突出1/2的實(shí)質(zhì)。</p><p> <strong>（四）根據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，確定呈現(xiàn)方式</strong></p><p> 同一個(gè)知識(shí)對(duì)象可以有多樣的載體予以呈現(xiàn)，不同年齡階段的學(xué)生他們的現(xiàn)實(shí)背景不同，為理解數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展所需情景也不同，因此，要根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律確定對(duì)比練習(xí)的呈現(xiàn)方式。</p><p> 1、要豐富視覺表象</p><p> 根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知理論，低年級(jí)學(xué)生還處于具體運(yùn)算思維階段。對(duì)以具體形象思維為主的低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，文字還很難轉(zhuǎn)化成表象在頭腦中反映出來(lái)，也就無(wú)法利用生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)去解決問(wèn)題。的確，低年級(jí)學(xué)生容易以詞語(yǔ)來(lái)記憶方法，把多次出現(xiàn)得出諸如看見多用加法，看見少用減法等“經(jīng)驗(yàn)感覺”，這種先前經(jīng)驗(yàn)作為強(qiáng)信息成為干擾后繼學(xué)習(xí)的前攝抑制，因此，教學(xué)中要增加低年級(jí)學(xué)生的表象積累，豐富他們的視覺表象，以形象直觀的對(duì)比方式，打破學(xué)生的以詞語(yǔ)定方法的心理定勢(shì)。</p><p> 教學(xué)新課程二上學(xué)習(xí)用乘法解決問(wèn)題，在基本練習(xí)后可以設(shè)計(jì)如下練習(xí)題：圖示一群4只蝴蝶，文字又飛來(lái)3群蝴蝶，現(xiàn)在一共有幾只蝴蝶？</p><p> 不少學(xué)生做成4+3=7（只），理由是“又飛來(lái)”用加法。</p><p> 一年級(jí)上來(lái)的孩子，飛來(lái)加法，飛走減法很是熟練，但是，這是基于非加即減沒有選擇余地的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)習(xí)乘法之后，怎樣打破“又飛來(lái)”用加法的強(qiáng)信息干擾，看來(lái)對(duì)比練習(xí)很是必要。當(dāng)學(xué)生理所當(dāng)然地認(rèn)為“又飛來(lái)”用加法時(shí)，呈現(xiàn)題1，組成如下對(duì)比題：</p><p> 題1：圖示呈現(xiàn)“一群4只蝴蝶”，文字呈現(xiàn)“又飛來(lái)3群蝴蝶，現(xiàn)在一共有幾只蝴蝶？”</p><p> 題2：圖示呈現(xiàn)“一群4只蝴蝶”，文字呈現(xiàn)“又飛來(lái)3只蝴蝶，現(xiàn)在一共有幾只蝴蝶？”</p><p> 讓學(xué)生在兩題的圖示中直觀地感受差異，當(dāng)一些學(xué)生再次以“又飛來(lái)”用加法為理由出現(xiàn)4+3=7（只）時(shí)，一些同學(xué)馬上清醒地認(rèn)識(shí)到“‘又飛來(lái)’不一定是加法，要看是飛來(lái)幾群還是飛來(lái)幾只，如果飛來(lái)幾群就用乘法，飛來(lái)幾只就用加法。”“一群有4只蝴蝶，飛來(lái)3群，就是又多了3個(gè)4只。”“一群有4只蝴蝶，又飛來(lái)3只，就是又多了3只。”</p><p> 學(xué)生的發(fā)言表明，通過(guò)形象對(duì)比，他們更加明白求幾個(gè)幾的和，用乘法計(jì)算，求幾和幾的和用加法計(jì)算。在辨析中分清異同，突破看見“又飛來(lái)”或者“求一共”就用加法的詞語(yǔ)定勢(shì)，從尋找相同詞語(yǔ)到感悟數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)感性到理性的飛躍。</p><p> 2、要重視數(shù)量關(guān)系分析</p><p> 高年級(jí)學(xué)生已進(jìn)入和成人思維接近的、達(dá)到成熟的形式運(yùn)算思維，可以離開具體事物，根據(jù)假設(shè)來(lái)進(jìn)行邏輯推演的思維。因此，高年級(jí)學(xué)生可以通過(guò)理性分析來(lái)解決問(wèn)題。如：</p><p> （1）“生產(chǎn)360個(gè)零件，徒弟每小時(shí)做10個(gè)，師傅每小時(shí)做15個(gè)，兩人合做幾小時(shí)完成？”</p><p> （2）“生產(chǎn)360個(gè)零件，徒弟獨(dú)做需10小時(shí)，師傅獨(dú)做需15小時(shí)，兩人合做幾小時(shí)完成？”</p><p> 相似情景，定勢(shì)思維，干擾在所難免，掉入陷阱也無(wú)需驚奇，事實(shí)上似曾相識(shí)更具欺騙性。打破一教一練，形成認(rèn)知沖突，通過(guò)對(duì)比，使學(xué)生對(duì)知識(shí)重新編碼，從而實(shí)現(xiàn)“破為破中立”的教學(xué)目標(biāo)。如此讓學(xué)生經(jīng)風(fēng)雨見彩虹，對(duì)比中感悟，主動(dòng)審題和分析數(shù)量關(guān)系，有助于排除情景干擾，減少解題策略定勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維。</p><p> 最后需要強(qiáng)調(diào)的是：不管是內(nèi)容對(duì)比、方法對(duì)比還是形式對(duì)比，甚至數(shù)學(xué)思想對(duì)比，都需要選擇合適的時(shí)機(jī)。對(duì)比何時(shí)實(shí)施呢？是新課建立正確印象時(shí)主動(dòng)對(duì)比？還是練習(xí)課再行對(duì)比？還是日后在碰到大面積差錯(cuò)時(shí)被動(dòng)對(duì)比糾正？如果新課為建立正確新印象，集中精力，心無(wú)旁鶩，課后，原本學(xué)習(xí)有困難的同學(xué)相信也會(huì)以葫蘆畫瓢，皆大歡喜。其實(shí)，學(xué)生的認(rèn)知實(shí)際上就是一種舊與新，錯(cuò)誤與正確之間的鏈接，正確的方法往往是試錯(cuò)的結(jié)果。因此，一般情況下可讓學(xué)生在前后攝抑制等干擾下試誤，然后引進(jìn)對(duì)比題，成為對(duì)比題組，讓學(xué)生有所自悟；也可根據(jù)需要同時(shí)呈現(xiàn)對(duì)比題。</p><p> 研究表明，人的一般認(rèn)知發(fā)展，包括認(rèn)知能力的發(fā)展和認(rèn)知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思。對(duì)比練習(xí)鞏固知識(shí)不是目的，常常做些“超鏈接”讓學(xué)生對(duì)比，主動(dòng)尋求知識(shí)之間潛在的“連結(jié)”，使學(xué)生把知識(shí)連點(diǎn)成線成面成網(wǎng)，培養(yǎng)反思習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。</p><p> <strong>參考文獻(xiàn)：</strong></p><p> 1、《小學(xué)數(shù)學(xué)課標(biāo)解讀》</p><p> 2、《學(xué)習(xí)與發(fā)展》林崇德著</p><p> 3、《怎樣解題》G.·波利亞著</p><p> 4、《學(xué)與教的心理學(xué)》皮連生主編</p><p> 5、《5％差錯(cuò)原則與小學(xué)計(jì)算教學(xué)》姜愛琴，發(fā)表于《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2003年第4期</p>
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